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| 4 | [수학] 합동
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2012-06-18 | 7820 |
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(1) 삼각형의 결정조건 한 변의 길이가 3cm인 삼각형을 그리라고 하면 사람마다 다른 크기의 삼각형을 그리겠지만, 세 변의 길이와 세 각의 크기가 각각 얼마인 삼각형을 그리라고 하면 모든 사람들이 모두 똑같은 삼각형을 그려낼 것입니다. 즉, 세 변과 세 각이 주어진 삼각형은 단 하나로 결정되는 것이지요. 그렇다면 세 변과 세 각, 이 6가지 요소가 모두 주어져야만 삼각형을 하나로 결정할 수 있을까요? 수학은 군더더기를 배제하는 효율적인 학문으로, 최소의 조건으로 최대의 결과를 얻어내는 것을 지향합니다. 그렇다면 삼각형을 하나로 결정할 수 있는 최소한의 조건은 무엇일까요? 삼각형을 하나로 결정하는 최소한의 조건을 삼각형의 결정조건이라 하고 다음과 같이 세 가지가 있습니다. 자와 컴퍼스를 이용하여 직접 작도해 보면 다음의 세 결정조건에 의해서 삼각형이 각각 단 하나씩 결정됨을 알 수 있습니다.
(2) 삼각형의 합동조건 세 변의 길이가 각각 3cm, 4cm, 5cm인 삼각형은 오직 하나로 결정됩니다. 그런데 이러한 조건을 만족하는 삼각형이 두 개 있다면 두 삼각형의 사이에는 어떤 관계가 성립할까요? ‘쌍둥이 삼각형’이라고 하기에도 모자란 감이 있습니다. 쌍둥이인 경우에도 일치하지 않는 유전자가 존재하거나 살아가는 환경에 따라 다른 모습을 띌 수도 있을 테니까요.  수학에서는 이와 같이 조건이 완벽하게 맞는 똑같은 도형을 ‘합동’이라고 합니다. 정확하게 정의하자면, 합동이란 모양이나 크기를 바꾸지 않고 옮겼을 때 완전히 포개어지는 두 도형을 말하고, 이때 서로 포개어지는 점, 각, 변을 각각 대응점, 대응각, 대응변이라고 합니다. 두 도형이 합동이면 너무나 당연한 얘기겠지만 대응변의 길이가 같고 대응각의 크기가 같습니다. 역으로 대응변의 길이가 모두 같고 대응각의 크기가 모두 같은 도형은 합동이지요. 그렇다면 두 삼각형이 합동이 되기 위해서는 대응변과 대응각이 모두 같은지 하나하나 확인해 봐야 할까요? 삼각형의 결정조건과 마찬가지로 합동이 되도록 하는 최소한의 조건을 뽑아내어 삼각형의 합동조건이라고 합니다. 삼각형의 합동조건은 삼각형의 결정조건을 이용하면 바로 얻어낼 수 있으며, 다음의 세 가지가 있습니다.
여기서, 변(Side)의 S와 각(Angle)의 A를 사용하여 세 합동조건을 각각 SSS, SAS, ASA 합동이라고 합니다. 이번 칼럼에서는 중등 평면기하의 논증에서 중요하게 활용되는 ‘삼각형의 합동’에 대해서 이야기해 보았습니다. 삼각형의 합동조건을 이용하여 사각형의 합동조건을 찾아보면서 도형의 합동을 이해해 보는 건 어떨까요?
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