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1	[수학] 서로 만나는 평행선	2012-06-14	5242
수학의 여러 분야 중에서 역사적으로 가장 오래된 것은 단연 기하학입니다. 기하학이란 쉽게 말해서 도형을 다루는 학문인데요, 고대 이집트에서 홍수로 나일강이 범람한 후에 토지를 재분배하기 위하여 땅의 면적을 측량하던 기술이 발전되어 완성된 학문입니다. 기원전 3세기 경 그리스의 철학자 ‘에우클레이데스(Eukleid?s)’는 기하에 대한 지식을 총집결하여 ‘원론(또는 원본)’이라는 13권짜리 책을 써서 유클리드 기하학을 구축하였습니다. 그런데 이 책의 논리적인 짜임새가 너무나 완벽하여 수학을 공부하는 사람이라면 누구나 봐야하는 필독서가 되었고, 우리가 초, 중, 고등학교에서 배운 교과서도 모두 유클리드 기하학을 바탕으로 하고 있습니다. 수학은 정의에서 출발하는 학문입니다. 그런데 문제는 우리가 사용하는 개념을 모두 정의한다는 것이 불가능하다는 것입니다. 하나의 개념을 정의하려면 그것을 정의하는 데 사용되는 말들도 빠짐없이 정의되어야 하고, 그 말들을 정의하기 위해 사용되는 말들을 또다시 정의해야 하는 끝도 없는 순환논리에 빠지게 되기 때문이지요. 따라서 수학의 밑바탕이 되는 몇 가지는 정의하지 않고 증명 없이 무조건 옳다고 하기로 약속하였습니다. 그것을 기하학에서는 공리라고 하는데요, 유클리드의 원론은 다음의 다섯 가지를 공리로 정하고, 이 공리로부터 출발하여 차근차근 명제들을 증명해 나가는 방법으로 전개되고 있습니다. 그런데 유클리드의 다섯 공리 중 마지막 공리가 수학자들에게 엄청난 숙제를 안겨주게 됩니다. 앞의 네 공리는 자와 컴퍼스 등을 사용하여 경험과 직관으로 이해가 되었으나 마지막 다섯 번째 평행선 공리는 직선 자체의 길이가 무한하기 때문에 눈에 보이는 일부를 가지고 단정할 수 없었기 때문이지요. 이후 2200년 동안 평행선 공리를 증명하기 위해 무수히 많은 수학자들의 도전과 실패가 이어졌고 이러한 실패 속에서 놀라운 사실을 발견하게 되었습니다. 다섯 번째 공리를 부정하고 새로운 공리를 설정하더라도 나머지 4개의 공리와 서로 모순이 생기지 않는다는 것이지요. 즉, 새로운 기하학의 세계가 열리고, 새로운 우주가 탄생하게 된 것입니다. 유클리드 기하학은 유클리드 공간에서만 가능한 기하학입니다. 즉, 평면이나 찌그러짐이 없는 공간에서 도형의 성질을 다루는 것이지요. 그러나 우리가 살고 있는 작은 별 지구만 보더라도 그 공간은 구에 가까운 곡률을 가진 공간이고 더 나아가 우주는 중력장에 의해 불규칙하게 휘어진 공간입니다. 구면과 같은 공간에서 직선, 즉 두 점을 지나는 최단 거리는 구의 중심을 지나는 평면으로 잘랐을 때 생기는 큰 원을 의미하므로 모든 직선은 만나게 됩니다. 즉, 오른쪽 그림과 같이 한 직선에 평행한 직선은 존재하지 않습니다. 또한 말안장과 같이 휘어진 공간에서는 한 직선에 평행한 직선이 두 개 이상 존재합니다. 이와 같이 구면이나 말안장과 같이 휘어진 공간을 비유클리드 공간이라 하고, 비유클리드 공간은 실제 존재하는 것으로 밝혀졌으며, 아인슈타인의 상대성 이론에서는 우리가 살고 있는 실제 공간을 비유클리드 공간으로 보고 있습니다. 비유클리드 공간에서 다루는 기하학을 비유클리드 기하학이라고 하는데, 쌍곡기하, 타원기하 등 현재까지 13개 이상의 기하학이 탄생되고 체계화되었으며 우주의 구조를 연구하는 우주론에서는 비유클리드기하학이 중심이 됩니다. 비유클리드 공간에서는 이각형(두 변으로 이루어진 다각형)이 존재하고, 직사각형이 존재하지 않으며, 삼각형의 세 내각의 크기의 합이 180°가 아니라 이보다 크거나(타원기하) 작게(쌍곡기하) 됩니다. 즉, 우리가 수학 시간에 배웠던 모든 정리가 무의미해지지요. 2000년이 넘도록 절대적인 진리라고 생각했던 공리 하나를 부정함으로써 인류의 역사를 뒤바꾸는 새로운 학문이 탄생한 것입니다. 여러분들도 한 번쯤 절대적으로 진리라고 생각했던 것을 뒤집어 새로운 발상을 해보시는 건 어떨까요? ※ 본 칼럼의 저작권은 (주)좋은책신사고에 있으며, 무단 전제 및 복제를 금합니다.

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